La Paradoja de Monty Hall - Simulación en R

La diferencia esencial entre los juegos de estrategia y los puros pasatiempos de azar radica en las circunstancia de que la inteligencia  y la pericia son útiles cuando se trata de jugar los primeros, pero no los últimos (McKinsey,1967).

El dilema lleva este nombre en honor a Monty Hall, presentador del concurso televisivo ‘Let’s Make a Deal’ famoso en EEUU entre 1963 y 1986. En resumen, el ‘juego’ consiste en la posibilidad de que un concursante pueda llevarse a casa un premio que está oculto entre tres opciones, el único que conoce la ubicación del premio es el presentador; después de que el participante elige una de las opciones (que podría ser una maleta, una puerta, un cofre, o lo que sirviera para ocultar el premio) el presentador descubre una de las opciones que no tiene premio alguno y le pregunta al participante si desea quedarse con su elección original o desea cambiarse a la otra opción cuyo contenido sigue oculto.

Si afirmamos que para poder participar, el concursante ha pagado un monto que equivale justamente a la mitad del premio, el problema podría ser analizado desde la óptica de la Teoría de los Juegos y a su vez entendido como un juego de ‘suma cero’, pues terminado el juego sucederá que ganara el participante o ganara el presentador que por supuesto representa los intereses de otra persona. En términos específicos los elementos del juego serian: 

Jugadores	El participante y el presentador
Alternativas	Elegir entre las tres opciones y luego adoptar la estrategia ‘quedarse’, ‘cambiar’ o ‘aleatoriamente’ decidir entre cambiar o quedarse.
Reglas	Primero ‘juega’ el participante, luego el presentador y luego otra vez el participante.
Pagos	Si el participante gana se lleva un premio equivalente al doble de lo que pago. Si el presentador gana se lleva lo que pago el participante por concursar.
Distribución de probabilidades sobre los estados de la naturaleza.	1/3 de probabilidad de que el premio este oculta en cada opción.
Información	El presentador sabe cuál es la opción que eligió el concursante, y el concursante sabe cuáles son las probabilidades de triunfo si escoge cada opción.

Antes de empezar con el análisis del juego debe notarse algo muy importante: en este juego la decisión de uno de los jugadores es más activa que la del otro jugador. Como se dijo en un principio el presentador conoce donde está el premio y su objetivo en el juego será confundir al participante en el momento de elegir la opción y en el momento de decidir si cambia o se queda con su opción inicial. En cambio el participante tendrá en sus manos la importante decisión de elegir una de las opciones y luego de tomar la decisión igual de importante de cambiar o no su decisión inicial. Es por eso que en este artículo lo que se va hacer es analizar cuál es la mejor estrategia del participante para poder tener más probabilidades para ganar el juego.

Lo que hace de este juego una paradoja es que se afirma sin discusión alguna que para poder tener más probabilidades de triunfo lo que se debe hacer es elegir la estrategia de ‘cambiar’ es decir después de que el presentador descubra una de las opciones, el participante debe dejar su opción inicial y elegir la opción cuyo contenido aun no fue descubierto.

Como se puede observar aparentemente da lo mismo en elegir la estrategia de quedarse o cambiar la opción inicial, pero un análisis un ‘poquito’ más exhaustivo muestra que eso no es cierto pues para que suceda evento del medio existe una probabilidad de 1/3 y para que suceda los eventos de los costados existe la probabilidad de 2/3, por lo tanto la estrategia optima será ‘cambiar’ la opción inicial.

Para demostrar el resultado se puede utilizar el siguiente código en R:

#Una simulacion Monte Carlo del problema de Monty Hall.
#La simulacion tendra 1000 intentos.
#El objetivo es demostrar que adoptando la estrategia 'cambiar' se obtiene 
#una mayor probabilidad de ganar que adoptando la estrategia 'quedarse'.
#KEI Group
#########################################################
montyhall<-function(estrategia='quedarse',N=1000,print_games=TRUE)
{
  puertas=1:3
  ganar=0 # hacer un seguimiento del numero de exitos.
  for(i in 1:N) 
    {
    premio=floor(runif(n=1,min=1,max=4)) # aleatoriamente qué puerta tiene el buen premio.
    adivinar=floor(runif(n=1,min=1,max=4)) # adivinar una puerta al azar.
### Revelar una de las puertas que no tiene por supuesto el buen premio.
  if(premio!=adivinar)
    revelar=puertas[-c(premio,adivinar)]
  else
    revelar=sample(puertas[-c(premio,adivinar)],1)
### 'Quedarse' con la eleccion inicial o 'cambiar'.
  if(estrategia=='cambiar')
    seleccionar=puertas[-c(revelar,adivinar)]
  if(estrategia=='quedarse')
    seleccionar=adivinar
  if(estrategia=='aleatorio')
    seleccionar=sample(puertas[-revelar],1)
### Cuente sus exitos
  if(seleccionar==premio)
  {
    ganar=ganar+1
    resultado='ganador'
    }else
      resultado='perdedor'
    if(print_games)
    cat(paste('adivinar: ',adivinar,
    '\nPuerta Revelada: ',revelar,
    '\nPuerta Elegida: ',seleccionar,
    '\nPuerta del premio: ',premio,
    '\n',resultado,'\n\n',sep=''))
}
  cat(paste(' Usando la estrategia ',estrategia,' su porcentaje de ganar era de ', ganar/N*100,'%\n',sep=' '))
  }
montyhall(estrategia="quedarse")
montyhall(estrategia="cambiar")
montyhall(estrategia="aleatorio")